KSZTAŁTOWANIE KRZYWEJ PRZEJŚCIOWEJ U PODSTAWY ZĘBA W ASPEKCIE MINIMALIZACJI NAPRĘŻEŃ ZGINAJĄCYCH

Marek MARTYNA[1], Jan ZWOLAK[2]

Streszczenie

W kolach zębatych tworzących złożone układy napędowe występują zmienne wartości naprężeń zginających u podstawy zęba, które wynikają ze zmienności przenoszonego momentu obrotowego. Naprężenia zginające należą do najbardziej destrukcyjnych w procesie eksploatacji kół zębatych. Ich wartości rzeczywiste, przekraczające dopuszczalne wartości naprężeń na zginanie, przyczyniają się do powstawania pęknięcia u podstawy.

W miejscu pęknięcia powstaje spiętrzenie naprężeń na skutek zmniejszenia objętości czynnej materiału przenoszącej obciążenie. Dalsza eksploatacja koła zębatego sprawia, że pęknięcie wzrasta aż do osiągnięcia długości krytycznej szczeliny. Po przekroczeniu długości krytycznej szczeliny następuje złamanie zęba i konieczność zatrzymania ruchu układu napędowego.

Naprężenia zginające można minimalizować przez odpowiednie kształtowanie krzywej przejściowej u podstawy zęba. W prezentowanej pracy zawarto rozważania na temat wartości liczbowej promienia krzywej przejściowej, w odniesieniu do wartości naprężeń zginających.

WPROWADZENIE

Koła zębate, jako elementy maszyn przenoszące najczęściej zmienne wartości momentów obrotowych, narażone są między innymi na działanie naprężeń zginających u podstawy zęba. Naprężenia zginające kwalifikowane są jako najbardziej dotkliwe w skutkach podczas eksploatacji kół zębatych, gdyż powodują złamanie zęba.

Parametrem geometrycznym zawierającym w sobie informacje o odporności zęba na naprężenia zginające jest współczynnik kształtu zęba YF, którego wartość liczbowa powinna być jak najmniejsza. W obliczeniach współczynnika kształtu zęba największe znaczenie mają dwie wielkości geometryczne: hFe – ramię momentu gnącego dla naprężenia u podstawy zęba w przypadku przyłożenia siły w zewnętrznym punkcie jednoparowego przyporu, SFn – grubość stopy zęba w przekroju obliczeniowym mierzona po cięciwie. Wysokość ramienia momentu gnącego hFe, jak i grubość stopy zęba w przekroju obliczeniowym SFn zależna jest od przyjętej metody obliczeń. W prezentowanej pracy stosowana jest metoda B wg normy ISO 6336.

Według tej metody grubość stopy zęba SFn jest miarą odcinka wyznaczonego przez dwa punkty, w których styczne do krzywej przejściowej nachylone są do osi zęba pod kątem 300. Liczne badania własne autorów wskazują, że w przypadku krzywej przejściowej jednoelementowej, naprężenia zginające u podstawy zęba osiągają wartości maksymalne w miejscu, w którym mierzona jest grubość stopy zęba SFn. W tym samym miejscu występują pierwsze mikropęknięcia przy stopie zęba i dalszy wzrost szczeliny aż do osiągnięcia długości krytycznej, powodującej złamanie zęba. Istotnym czynnikiem wpływającym na obniżenie naprężeń zginających będzie tu promień krzywej przejściowej rF w przekroju obliczeniowym.

W przypadku krzywej przejściowej wieloelementowej z protuberancją (z podcięciem), grubość stopy zęba SFn będzie mniejsza w porównaniu z grubością stopy zęba o krzywej przejściowej jednoelementowej. Mniejsza grubość stopy zęba powoduje wzrost współczynnika kształtu zęba YF, a tym samym wzrost naprężeń zginających, przyczyniających się do powstawania pęknięć u podstawy, prowadzących do złamania zęba.

Kształtowanie krzywej przejściowej u podstawy zęba jest zatem ważnym etapem w projektowaniu kół zębatych i powinno być poprzedzone szeroką analizą geometryczną i wytrzymałościową z zastosowaniem metod numerycznych.

W dalszej części pracy będzie przedstawiony fragment analizy wpływu promienia krzywej przejściowej na wartość naprężeń zginających, wyznaczonych w przekroju obliczeniowym SFn.

1.      CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU BADAŃ

Przedmiotem badań były koła zębate tworzące przekładnię power shift. Schemat kinematyczny przekładni przedstawiono na rysunku 1.

Rys.1. Schemat kinematyczny 6-biegowej przekładni power shift

Struktura wewnętrzna rozpatrywanej przekładni zawiera 12 kół zębatych tworzących 7 par, 5 wałków, 3 sprzęgła biegowe i 2 sprzęgła kierunkowe.

Analizie geometrycznej i wytrzymałościowej (pod względem wytrzymałości na zginanie) poddano koła zębate posiadające następujące parametry geometryczne:

z1=34,   m=5.973,    x1=0.012,            z2=29,   m=6.458,    x2=0.178,

z3=34,   m=5.973,    x3=0.165,            z4=29,   m=6.458,    x4=0.149,

z5=52,   m=5.973,    x5=0.177,            z6=40,   m=6.339,    x6=0.184,

z7=38,   m=5.973,    x7=0.172,            z8=44,   m=6.317,    x8=0.264,

z9=50,   m=6.339,    x9=0.141,            z10=26,  m=6.246,   x10=0.242,

z11=31,  m=6.246,   x11=0.297,            z12=49,  m=6.246,   x12=0.130.

 Kąt zarysu dla wszystkich kół zębatych przyjmuje jednakową wartość i wynosi a0=25°.

Rozpatrywano koła zębate o dwóch rodzajach krzywych przejściowych przedstawionych na rysunku 2.

a)b)

Rys.2. Rodzaje krzywych przejściowych: a) jednoelementowa, b) wieloelementowa z protuberancją  (z podcięciem)

Punkt G na rysunku 2 oznacza punkt graniczny, w którym styka się krzywa przejściowa stopy zęba z początkiem ewolwenty. Promień rG jest promieniem granicznym. Grubość stopy zęba w przekroju obliczeniowym oznaczono przez SFn, natomiast promień krzywej przejściowej w tymże przekroju symbolem rF.

2. PARAMETRY GEOMETRYCZNE ZĘBA A NAPRĘŻENIA ZGINAJĄCE

Jedną z podstawowych wielkości wpływających na wartość liczbową naprężeń zginających, jest współczynnik kształtu zęba [1,2,4] obliczany według wzoru:

 

                                                                                            (1)

 

Niektóre parametry występujące we wzorze (1), jako wielkości geometryczne zostały przedstawione na rysunku 3.

Rys.3. Przekrój obliczeniowy stopy zęba SFn według metody B ISO 6336

Przyjęte oznaczenia na rysunku 3 określane są jako: Fn – siła obciążająca ząb i działająca na kierunku stycznym do koła zasadniczego, przyłożona w zewnętrznym punkcie jednoparowego przyporu, aFen – kąt przyłożenia siły, hFe – ramię momentu gnącego dla naprężenia u podstawy zęba w przypadku przyłożenia siły w zewnętrznym punkcie jednoparowego przyporu, SFn – grubość stopy zęba w przekroju obliczeniowym mierzona po cięciwie, ge – wielkość kątowa pomocnicza związana ze średnicą okręgu przechodzącego przez punkt przyłożenia siły, rF – promień krzywej przejściowej w przekroju obliczeniowym, który jest tu parametrem zmiennym wpływającym na wartość liczbową naprężeń zginających sF. Wzór (1)  zawiera jeszcze dwie wielkości, które nie mogą być pokazane na rysunku 3. Są to: mn – moduł normalny oraz an – kąt przyporu normalny na walcu podziałowym.

Promień krzywej przejściowej rF w przekroju obliczeniowym, zgodnie z normą ISO 6336 [4], będzie wyznaczony według wzoru:

 

                                                               (2)

 

Występujący we wzorze (2) promień krzywej przejściowej zarysu odniesienia rfp może przyjmować różne wartości [3,5] i obliczany jest według wzoru:

 

                                                                                                     (3)

 

Wielkości występujące we wzorze (3) oznaczają: C0 – współczynnik luzu wierzchołkowego, m – moduł narzędzia, a0 – kąt zarysu. Parametry pomocnicze G i J, występujące we wzorze (2), wyznacza się według wzorów:

 

                                                                                                 (4)

 

                                                                                                   (5)

 

We wzorze (5) pojawiła się wielkość pomocnicza H, która jest obliczana według wzoru:

 

                                                                                          (6)

 

Oznaczenie ‘z’ występujące we wzorze (2), jak i we wzorze (5) oraz (6) wyraża ilość zębów koła zębatego, natomiast przez x we wzorze (4) oznaczono współczynnik przesunięcia zarysu (współczynnik korekcji). Inną wielkość pomocniczą E, którą zawiera wzór (6) oblicza się według zależności:

 

                                            (7)

 

Oznaczenie Spr we wzorze (7) wyraża głębokość protuberancji (podcięcia) stopy zęba, która ma znaczący wpływ na naprężenia zginające sF i  jest przyjmowana przez konstruktora. Głębokość protuberancji powinna być brana pod uwagę w obliczeniach wytrzymałościowych stopy zęba na etapie projektowania, z równoczesnym uwzględnieniem możliwości technologicznych w procesie obróbki wykończeniowej kół zębatych.

3.      WYNIKI BADAŃ NUMERYCZNYCH

Badania numeryczne polegały na przeprowadzeniu obliczeń naprężeń zginających, z wykorzystanie autorskiego programu [6], we wszystkich kołach zębatych tworzących przekładnię power shift zamieszczoną na rysunku 1, dla dwóch rodzajów krzywych przejściowych (krzywa przejściowa jednoelementowa oraz krzywa przejściowa wieloelementowa z protuberancją), przy siedmiu wartościach promienia krzywizny rF w przekroju obliczeniowym. Jednakże ograniczona objętość pracy pozwala na przedstawienie wyników dla czterech kół: z1, z5, z10, z12, tworzących parę zębatą wejściową z1:z5 oraz parę zębatą wyjściową z10:z12. Parę zębatą wejściową obciążono momentem obrotowym M=2000 Nm, przy prędkości obrotowej n=1800 obr/min.

Wyniki obliczeń naprężeń zginających dla koła z1 i z5, w zależności od krzywej przejściowej i jej promienia rF1 i rF5, w przekroju obliczeniowym przedstawiono w tabeli 1 i 2.

Tabela 1. Krzywa przejściowa bez protuberancji, para zębata: z1/z5

Koła zębate: z1, z5

Promień krzywej przejściowej [mm]

Naprężenia zginające [MPa]

rfp [mm]

rF1

rF5

sF1

sF5

0.20 m

2.1839

1.9833

356

379

0.25 m

2.6771

2.2011

342

361

0.30 m

2.8714

2.4229

330

344

0.35 m

3.0695

2.6483

318

330

0.40 m

3.2714

2.8777

307

316

0.45 m

3.4774

3.1109

296

304

0.50 m

3.6876

3.3483

286

292

Tabela 2. Krzywa przejściowa z protuberancją, para zębata: z1/z5

Koła zębate: z1, z5

Promień krzywej przejściowej [mm]

Naprężenia zginające [MPa]

rfp [mm]

rF1

rF5

sF1

sF5

0.20 m

2.4934

1.9864

366

389

0.25 m

2.6836

2.2042

352

371

0.30 m

2.8774

2.4256

339

354

0.35 m

3.0749

2.6508

327

339

0.40 m

3.2764

2.8799

316

325

0.45 m

3.4820

3.1129

305

313

0.50 m

3.6917

3.3500

295

301

Na podstawie wyników sF1 i rF1 (zawartych w tabelach 1 i 2) dotyczących koła zębatego z1, którego zęby posiadają krzywą przejściową bez protuberancji i z protuberancją, wykonano zestawienia na wykresach słupkowych umieszczonych na rysunku 4.

Rys.4. Naprężenia zginające w zależności od promienia krzywej przejściowej

Dalsze wyniki obliczeń dotyczące koła z10 i z12, w zależności od krzywej przejściowej i jej promienia rF10 i rF12 w przekroju obliczeniowym przedstawiono w tabelach 3 i 4.

Tabela 3. Krzywa przejściowa bez protuberancji, para zębata: z10/z12

Koła zębate: z10, z12

Promień krzywej przejściowej [mm]

Naprężenia zginające [MPa]

rfp [mm]

rF10

rF12

sF10

sF12

0.20 m

2.2345

2.1812

364

381

0.25 m

2.4405

2.4037

348

365

0.30 m

2.6514

2.6298

333

350

0.35 m

2.8673

2.8598

319

336

0.40 m

3.0884

3.0939

306

323

0.45 m

3.3149

3.3320

294

312

0.50 m

3.5472

3.5743

283

301

Tabela 4. Krzywa przejściowa z protuberancją, para zębata: z10/z12

Koła zębate: z10, z12

Promień krzywej przejściowej [mm]

Naprężenia zginające [MPa]

rfp [mm]

rF10

rF12

sF10

sF12

0.20 m

2.2409

2.1852

373

392

0.25 m

2.4463

2.4073

357

375

0.30 m

2.6566

2.6331

341

359

0.35 m

2.8719

2.8628

327

345

0.40 m

3.0924

3.0965

314

333

0.45 m

3.3184

3.3343

302

321

0.50 m

3.5502

3.5764

290

310

Wyniki sF10 i rF10, zawarte w tabelach 3 i 4, odnoszące się do zębów koła zębatego z10 z krzywą przejściową bez protuberancji i z protuberancją przedstawiono na rysunku 5.

Rys.5. Naprężenia zginające w zależności od promienia krzywej przejściowej

4.      PODSUMOWANIE

Analiza wartości liczbowych naprężeń zginających, w zależności od krzywej przejściowej stopy zęba i jej promienia krzywizny w przekroju obliczeniowym, umożliwia wprowadzenie wartościowania stosowanych metod obróbki zębów w procesie wytwarzania kół zębatych.

W przedstawionej pracy, wartościowanie odbywa się poprzez odniesienie (na wybranych parach zębatych z1:z5 oraz z10:z12) wyznaczonych naprężeń zginających: sF1, sF5, sF10 i sF12 do wartości promienia krzywej przejściowej w przekroju obliczeniowym stopy zęba, w poszczególnych kołach zębatych.

Porównując wartości liczbowe naprężeń w poszczególnych kołach zębatych i promieni odpowiednich krzywych przejściowych w przekroju obliczeniowym, daje się zauważyć, że wzrost promienia wywołuje podobny wpływ na obniżenie naprężeń w przypadku krzywej przejściowej bez protuberancji, jak i z protuberancją.

Przy jednakowych promieniach krzywizny rozpatrywanej pary zębatej, krzywa przejściowa jednoelementowa bez protuberancji zapewnia mniejszą wartość naprężeń zginających u podstawy zęba, aniżeli krzywa przejściowa wieloelementowa z protuberancją.

Wybór krzywej przejściowej powinien jednak wynikać z możliwości technologicznych zakładu wytwarzającego koła zębate, a szczególnie podczas operacji stosowanych w obróbce wykończeniowej powierzchni ewolwentowych zębów nawęglanych i hartowanych.

Konstruktor dokonujący wyboru krzywej przejściowej stopy zęba, który posiada wyniki zawarte w tabelach 1-4, uzyskuje możliwość wywierania wpływu na prace koncepcyjne konstruktora narzędzi do obróbki kół zębatych, np. ślimakowych frezów obwiedniowych, z odpowiednim promieniem naroża ostrza skrawającego.

Warunkiem wiarygodności obliczeń naprężeń zginających u podstawy zęba, jest spójność działania w zakresie konstrukcji kół zębatych, w zakresie narzędzi stosowanych w obróbce uzębienia oraz technologii wykonania (zęby frezowane na gotowo, zęby wiórkowane, zęby szlifowane).

  

LITERATURA

1.    Jaśkiewicz Z., Wąsiewski A.: Przekładnie walcowe. WKŁ, Warszawa 1995.

2.    Rybak J., Wiktor J.: Uwarunkowanie wytrzymałościowe kształtu krzywej przejściowej u podstawy zęba. Przegląd Mechaniczny nr 4, 1989.

3.    Pedrero J. I., Garcia – Masia C., Fuentes A.: Optimization of gear design by parametric analysis. International Congress Gear Transmissions’ 95. Sofia 1995.

4.    ISO 6336/I – III; 1996: Calculation of load capacity of spur and helical gears.

5.    Muller L.: Przekładnie zębate. Projektowanie. WNT, Warszawa 1996.

6.    Martyna M., Zwolak J.: Program PRZEKŁADNIA (http://www.gearbox.com.pl).

CONTROL OF THE TRANSITION CURVE AT THE TOOTH BASE

IN THE CONTEXT OF MINIMISING THE BENDING STRESS

SUMMARY

In toothed wheels forming intricate driving systems the bending stresses at the tooth base tend to vary, which is associated with fluctuations of the transmitted torque. Bending stresses appear to be most destructive during the operation of maintenance of toothed wheels. Their real values exceeding the admissible levels of bending stress lead to formation of cracks at the tooth base.

At the point the crack occurs, the stresses tend to intensify due to reduction of the active volume of the load-carrying material. Further use of the wheel causes the crack to propagate till it reaches its critical length. Once the critical length of the crack is reached, the tooth gets broken and the motion of the driving system has to be interrupted.

Bending stresses can be minimised by controlling the transition curve at the tooth base. This study focuses on the radius of the transition curve in relation to the bending stress, investigating various types of curves applied during the treatment of toothed wheels.

 



[1] dr inż. Marek Martyna – HSW S.A. – Biuro Rozwoju, Kwiatkowskiego 1, PL - 37-450 Stalowa Wola

[2] dr hab. inż. Jan Zwolak – Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego, Balicka 122, PL - 30-149 Kraków