MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA

NAPĘDY MASZYN TRANSPORTOWYCH – 2002

Węgierska Górka, październik 2002

 

 

dr inż. Marek MARTYNA

dr inż. Jan ZWOLAK

 

 

OPTYMALIZACJA SKRZYNI PRZEKŁADNIOWEJ

TYPU “POWER SHIFT”

 

 

STRESZCZENIE: W pracy przedstawiono przykład obliczeń geometrycznych i wytrzymałościowych kół zębatych tworzących skrzynię przekładniową typu „power shift”, za pomocą systemu komputerowego ‘PRZEKŁADNIA’. Optymalizacji podlegają parametry geometryczne kół zębatych ze względu na maksymalizację wskaźnika przyporu, minimalizację współczynnika kształtu zęba oraz minimalizację mas elementów wirujących przekładni.

 

 

1. WSTĘP

 

Skrzynie przekładniowe typu “power shift” stosowane w układach napędowych maszyn roboczych budowane są najczęściej o 6 lub 8 stopniach przełożenia. Od ilości stopni przełożenia zależy ilość kół zębatych tworzących skrzynię przekładniową. Rozpatrywana w tej pracy 6-stopniowa skrzynia przekładniowa liczy 12 kół zębatych o różnym kształcie zewnętrznym (trzy typy kół), o różnej ilości zębów i o tym samym module.

Koła zębate posiadające największą ilość zębów odznaczają się także największą masą. Duża masa, to również duży masowy moment bezwładności niekorzystnie wpływający na dynamikę ruchu obrotowego elementów wirujących skrzyni przekładniowej. Zachodzi zatem potrzeba prowadzenia prac zmierzających do minimalizacji masy elementów wirujących przekładni, przy zachowaniu lub poprawieniu równocześnie warunków wytrzymałościowych i warunków płynności ruchu obrotowego.

W rozpatrywanym przypadku 6-stopniowej skrzyni przekładniowej, przeprowadzono jej wielokryterialną optymalizację. W zadaniu optymalizacyjnym parametry geometryczne kół zębatych stanowiły zmienne decyzyjne a kryteria cząstkowe wyrażone zostały poprzez: masę wybranych elementów wirujących przekładni (kół zębatych), wskaźnik przyporu (czołowy stopień pokrycia) oraz współczynnik kształtu zęba. Maksymalizacja wskaźnika przyporu powoduje zmniejszenie obciążeń dynamicznych przekładni jak również poprawia płynność jej pracy (cichobieżność). Minimalizacja współczynnika kształtu zęba powoduje zmniejszenie naprężeń gnących u podstawy zęba i przyczynia się do wzrostu wytrzymałości doraźnej, jak też i zmęczeniowej ze względu na złamanie zęba.

Obliczenia prowadzono zgodnie z normami ISO [1], z wykorzystaniem ciągle rozbudowywanego systemu komputerowego ‘PRZEKŁADNIA’ [2]. O złożoności obliczeń mogą świadczyć następujące dane: 4 kryteria cząstkowe, 110 zmiennych decyzyjnych, 224 ograniczenia funkcyjne (w tym 13 równościowych) oraz 220 prostych ograniczeń nierównościowych.

 

 

 

 

2. BUDOWA SKRZYNI PRZEKŁADNIOWEJ I JEJ CECHY EKSPLOATACYJNE

 

Rozpatruje się skrzynię przekładniową 6-stopniową (3 stopnie jazdy do przodu i 3 do tyłu), na którą składa się: dwanaście kół zębatych, trzy sprzęgła biegowe, dwa sprzęgła kierunkowe oraz pięć wałków. Schemat kinematyczny w przekroju osiowym rozpatrywanej skrzyni przekładniowej SB 3300 przedstawiono na rys.1.

 

 

Rys.1. Schemat kinematyczny skrzyni przekładniowej SB 3300 w przekroju osiowym

 

Wszystkie koła zębate znajdujące się w skrzyni przekładniowej są w ciągłym zazębieniu ze sobą. O tym, przez który stopień przełożenia przenoszony jest moment obrotowy, decydują sprzęgła kierunkowe i sprzęgła biegowe. I tak na przykład, na pierwszym stopniu przełożenia jazdy do przodu załączone jest sprzęgło kierunkowe  na wałku I, oraz sprzęgło biegowe  na wałku III. W przypadku zaś jazdy do tyłu, załączyć należy sprzęgło kierunkowe  na wałku I a sprzęgło biegowe  na wałku III pozostaje w stanie jak dla jazdy do przodu.

Korzystając z rysunku 1 można zapisać przebieg łańcucha kinematycznego dla poszczególnych stopni przełożenia.

 

Jazda do przodu:                                                 Jazda do tyłu:

                                              

                                        

                                        

 

Obrazem geometrycznym zapisanej struktury stopni przełożeń jest schemat kinematyczny analizowanej skrzyni przekładniowej przedstawiony na rysunku 2.

 

Rys.2. Schemat kinematyczny skrzyni przekładniowej SB 3300 w przekroju promieniowym

 

Rozwiązanie konstrukcyjne skrzyni przekładniowej według schematu na rys.1 i 2 zapewnia, że zmiana stopni przełożenia może odbywać się  pod obciążeniem, poprzez sprzęgła kierunkowe  i  oraz sprzęgła biegowe ,  i . Jest to podstawowa cecha eksploatacyjna, niezbędna w napędach maszyn roboczych. Układy sterujące sprzęgłami najczęściej budowane są jako hydrauliczne, mające wysoki stopień pewności działania.

 

3. TYPY KÓŁ ZĘBATYCH PODLEGAJĄCYCH OPTYMALIZACJI

 

Podstawowymi elementami tworzącymi skrzynię przekładniową i decydującymi o jej właściwościach trwałościowych, niezawodnościowych i dynamicznych są koła zębate. W skrzyniach typu ‘power shift’ stosowane są najczęściej trzy, różniące się kształtem rodzaje kół zębatych. Ponieważ jednym z kryteriów optymalizacji jest masa kół zębatych tworzących przekładnię, wprowadzono do obliczeń  modele tych kół, pozwalające określić w przybliżeniu ich masę. Na rys.3, 4 i 5 przedstawiono modele kół:

·  Typ ‘wieńcowo–żebrowy z piastą’, który posiada wyraźnie uformowaną część wieńca zębatego połączoną z piastą za pomocą żebra, jak na rys.3.

 

 

Rys.3. Typ ‘wieńcowo–żebrowy z piastą’ koła zębatego

 

·  Typ ‘krążkowy’, w którym nie można wyodrębnić części wieńcowej od żebra, ani od piasty, rys.4.

Rys.4.Typ ‘krążkowy’ koła zębatego

 

·  Typ ‘wieńcowo–piastowy’, w którym wyodrębnia się wieniec zębaty przechodzący bezpośrednio w piastę, rys.5.

Rys.5. Typ ‘wieńcowo–piastowy’ koła zębatego

 

Oznaczenia parametrów geometrycznych na rys.3,4 i 5 są następujące:

 – średnica otworu koła,

– średnica piasty otworu koła,

 – średnica piasty wieńca koła,

– średnica stóp koła,

 – średnica głów koła,

   – szerokość wieńca koła,

 – szerokość piasty koła,

  – grubość żebra piasty koła,

 – grubość piasty koła,

 – grubość wieńca koła.

 

4. OPIS ZADANIA OPTYMALIZACJI I WYNIKI

 

Zadanie optymalizacji charakteryzują następujące wielkości:

- 110 zmiennych decyzyjnych,

- 224 ograniczenia, w tym 211 nierównościowych,

- 220 prostych ograniczeń nierównościowych,

- 4 kryteria cząstkowe.

 

Kryteria cząstkowe zostały sformułowane jak poniżej:

q       odwrotność minimalnego czołowego stopnia pokrycia  dla ‘p’ par kół:

q       maksymalny współczynnik kształtu zęba  dla ‘k’ kół:

q       całkowita masa kół:

q       ilość naruszonych ograniczeń:

a kryterium globalne zapisano zależnością:

               

gdzie :      p  - ilość par kół,

                 k  - ilość kół,

               no  - wskaźnik niespełnienia ograniczeń, no przyjmuje wartości 0 lub 1,

                 - ilość ograniczeń funkcyjnych (równościowych i nierównościowych),

                - współczynnik wagowy kryterium cząstkowego ‘j’,

     - wartość normująca kryterium cząstkowe ‘j’.

Tabela 1 zawiera wartości składowych kryteriów cząstkowych dla punktu startowego optymalizacji (przed optymalizacją) oraz dla trzech rozwiązań polioptymalnych (po optymalizacji). Rozwiązania polioptymalne uzyskano dla wybranych zestawów wag użytych w procesie obliczeniowym, czyli w poszczególnych przypadkach zakładano różną ważność kryteriów cząstkowych. Zestawy wag były następujące:

‘A’ ®  w1=.40, w2=.25, w3=.20, w4=.15

‘B’ ®  w1=.20, w2=.40, w3=.25, w4=.15

‘C’ ®  w1=.20, w2=.25, w3=.40, w4=.15

Tabela 1

Nr pary kół lub nr koła

Czołowy stopień pokrycia

Współczynnik kształtu zęba

Masa koła [kg]

przed optyma-lizacją

po optymalizacji

przed optyma-lizacją

po optymalizacji

przed optyma-lizacją

po optymalizacji

’A’

’B’

’C’

’A’

’B’

’C’

’A’

’B’

’C’

1

1.516

1.996

1.815

1.837

1.248

1.189

1.097

1.123

13.710

8.410

8.169

6.324

2

1.524

2.000

1.810

1.825

1.363

1.274

1.232

1.233

6.056

3.884

4.122

3.006

3

1.486

1.995

1.812

1.827

1.248

1.189

1.026

1.069

4.758

2.687

3.520

2.405

4

1.523

2.002

1.821

1.825

1.363

1.276

1.232

1.230

4.710

2.721

2.572

2.137

5

1.500

1.997

1.827

1.829

1.174

1.034

1.087

1.046

26.434

13.742

12.191

9.327

6

1.469

2.002

1.839

1.841

1.203

1.115

1.127

1.131

7.410

4.200

4.427

3.704

7

1.516

1.999

1.823

1.828

1.214

1.113

1.006

1.073

10.983

6.334

5.897

4.729

8

 

 

 

 

1.221

1.081

1.059

1.058

8.251

4.231

4.733

4.012

9

 

 

 

 

1.168

1.031

0.949

0.924

9.326

6.414

5.711

4.999

10

 

 

 

 

1.282

1.276

1.229

1.232

16.831

9.325

9.270

7.361

11

 

 

 

 

1.294

1.243

1.206

1.203

12.340

6.655

5.960

4.554

12

 

 

 

 

1.276

1.083

1.081

1.084

16.853

8.668

7.865

6.758

 

 

W tabeli 2 zestawiono wartości kryteriów cząstkowych oraz kryterium globalnego, dla punktu startowego optymalizacji (przed optymalizacją) oraz dla trzech rozwiązań polioptymalnych (po optymalizacji).

 

Tabela 2

kryteria

przed optymalizacją

po optymalizacji

‘A’

‘B’

‘C’

kryterium cząstkowe 

0.681

0.501

0.553

0.548

kryterium cząstkowe 

1.363

1.276

1.232

1.233

kryterium cząstkowe 

137.662

77.271

74.437

59.315

kryterium cząstkowe 

0.000

0.000

0.000

0.000

Kryterium globalne   

0.857

0.515

0.543

0.501

 

W tabeli 3 pokazano przykładowo szczegółowe wartości parametrów geometrycznych i wytrzymałościowych przed i po optymalizacji, dla pary 1 (koła zębate 1 i 5) i dla przypadku trzeciego zestawu wag (‘C’). Wartości parametrów wyrażono w następujących jednostkach: długości, średnice, szerokości, grubości i odchyłki w [mm], kąty w [°] a naprężenia w [MPa].

Tabela 3


 

Nazwa wielkości

Ozna-czenie

Przed optymali-zacją

Po optymali-zacji

moduł

m

    6.3500

   5.0035

kąt zarysu

alfa0

  25.0000

  25.0000

ilość zębów koła 1 (k1)

z1

  34.0000

  34.0000

ilość zębów koła 2 (k2)

z2

  52.0000

  52.0000

współczynnik korekcji k1

x1

   0.0000

  -0.2850

współczynnik korekcji k2

x2

   0.0000

  -0.2812

współczynnik wysokości głowy zęba k1

ya1

   1.0000

   1.1316

współczynnik wysokości głowy zęba k2

ya2

   1.0000

   1.1756

współczynnik wysokości stopy zęba k1

yf1

   1.0000

   1.0000

współczynnik wysokości stopy zęba k2

yf2

   1.0000

   1.0000

współczynnik luzu wierzchołkowego

c

   0.2500

   0.2500

górna odchyłka grubości zęba k1

f1

   0.0700

   0.0700

dolna odchyłka grubości zęba k1

g1

   0.1200

   0.1200

górna odchyłka grubości zęba k2

f2

   0.0700

   0.0700

dolna odchyłka grubości zęba k2

g2

   0.1200

   0.1200

 

 

 

 

szerokość wieńca zębatego k1             

b1

  25.0000

  18.6255

szerokość wieńca zębatego k2             

b2

  64.0000

  62.4259

grubość żebra piasty k1         

b_s1

  25.0000

  18.6255

grubość żebra piasty k2         

b_s2

  33.0000

  15.7338

szerokość piasty k1          

b_p1

  80.0000

  59.6017

szerokość piasty k2          

b_p2

  70.0000

  65.1830

średnica piasty wieńca k1    

di_z1

   0.0000

   0.0000

średnica piasty wieńca k2    

di_z2

 272.0000

 229.3876

średnica piasty otworu k1     

di_w1

 100.0000

 101.4364

średnica piasty otworu k2     

di_w2

  84.0000

  78.5197

średnica otworu k1             

d_o1

  70.0000

  73.7999

średnica otworu k2             

d_o2

  60.0000

  63.8036

 

 

 

 

średnica podziałowa k1            

d1

 215.9000

 170.1179

średnica podziałowa k2            

d2

 330.2000

 260.1803

średnica toczna k1               

dw1

 215.9000

 167.8020

średnica toczna k2               

dw2

 330.2000

 256.6384

średnica zasadnicza k1               

db1

 195.6718

 154.1791

średnica zasadnicza k2               

db2

 299.2628

 235.8034

średnica głów k1                

da1

 228.6000

 178.5892

średnica głów k2                

da2

 342.9000

 269.1309

średnica stop k1                

df1

 200.0250

 154.7572

średnica stop k2                

df2

 314.3250

 244.8581

zerowa odległość osi             

ao

 273.0500

 215.1491

rzeczywista odległość osi             

aw

 273.0500

 212.2202

kąt toczny przyporu         

alfaw

  25.0000

  23.2464

czołowy stopień pokrycia      

eps_alfa

   1.5156

   1.8366

 

 

 

 

średnica kulki pomiarowej k1           

dk1

  11.2562

  10.4117

wartość pomiarowa dla parzystej liczby zębów k1    

Mp1

 232.1490

 185.1846

wartość pomiarowa dla nieparzystej

liczby zębów k1 

     Mn1

 231.9133

 184.9981

 

 

 

 

średnica kulki pomiarowej k2           

dk2

  11.1664

  10.2930

wartość pomiarowa dla parzystej liczby zębów k2           

Mp2

 346.2383

 274.9877

wartość pomiarowa dla nieparzystej

liczby zębów k2           

Mn2

 346.0855

 274.8669

 

 

 

 

górna odchyłka pomiarowa przez wałeczki dla parz. liczby zębów k1

fp1

   0.1367

   0.1347

dolna odchyłka pomiarowa przez wałeczki dla parz. liczby zębów k1      

gp1

   0.2344

   0.2309

górna odchyłka pomiarowa przez wałeczki dla nieparz. liczby zębów k1      

fn1

   0.0000

   0.0000

dolna odchyłka pomiarowa przez wałeczki dla nieparz. liczby zębów k1

gn1

   0.0000

   0.0000

 

 

 

 

górna odchyłka pomiarowa przez wałeczki dla parz. liczby zębów k2      

fp2

   0.1410

   0.1396

dolna odchyłka pomiarowa przez wałeczki dla parz. liczby zębów k2      

gp2

   0.2418

   0.2394

górna odchyłka pomiarowa przez wałeczki dla nieparz. liczby zębów k2

fn2

   0.0000

   0.0000

dolna odchyłka pomiarowa przez wałeczki dla nieparz. liczby zębów k2       

gn2

   0.0000

   0.0000

 

 

 

 

ilość zębów koła 1 objętych pomiarem

n1

        5

        5

długość pomiarowa przez n1 zębów      

Wn1

  87.2255

  67.5238

maks. długość pomiar. przez n1 zębów

Wn1max

  87.1621

  67.4604

min. długość pomiar. przez n1 zębów

Wn1min

  87.1167

  67.4151

maksymalna średnica koła głów bez interferencji

da1max

 302.5762

 227.6718

 

 

 

 

ilość zębów koła 2 objętych pomiarem

n2

        8

        7

długość pomiarowa przez n2 zębów

Wn2

 144.5708

  98.4790

maks. długość pomiar. przez n2 zębów

Wn2max

 144.5074

  98.4156

min. długość pomiar. przez n2 zębów

Wn2min

 144.4620

  98.3703

maksymalna średnica koła głów bez interferencji

da2max

 377.9194

 289.2516

 

 

 

 

kąt odwinięcia ewolwenty na wierzchołku zęba koła k1

fi1a

  34.6099

  33.4929

kąt odwinięcia ewolwenty w zewn. punkcie jednoparowego zazębienia k1

fi1B2

  29.1509

  24.6344

kąt odwinięcia ewolwenty w centralnym punkcie zazębienia k1       

fi1c

  26.7175

  24.6120

kąt odwinięcia ewolwenty w wewn. punkcie jednoparowego zazębienia k1       

fi1B1

  24.0216

  22.9047

kąt odwinięcia ewolwenty na początku czynnego zarysu k1  

fi1cz

  18.5626

  14.0462

 

 

 

 

kąt odwinięcia ewolwenty na wierzchołku zęba koła k2

fi2a

  32.0495

  31.5204

kąt odwinięcia ewolwenty w zewn. punkcie jednoparowego zazębienia k2

fi2B2

  28.4801

  25.7283

kąt odwinięcia ewolwenty w centralnym punkcie zazębienia k2       

fi2c

  26.7175

  24.6120

kąt odwinięcia ewolwenty w wewn. punkcie jednoparowego zazębienia k2       

fi2B1

  25.1264

  24.5973

kąt odwinięcia ewolwenty na początku czynnego zarysu k2

fi2cz

  21.5570

  18.8052

 

 

 

 

grubość obliczeniowa zęba k1            

SFn1

  14.6643

  10.9173

średnica przyłożenia siły k1           

de1

 219.5413

 167.8258

kąt działania siły k1        

alfa_Fe1

  24.7863

  20.7178

wysokość ramienia działania siły k1        

hFe1

   7.0334

   4.3210

współczynnik kształtu zęba k1          

yF1

   1.2483

   1.1232

naprężenie stopy zęba k1   

sigma_f1

 285.1947

 639.2751

dopuszczalne napr. stopy zęba k1 

sigma_fp1

1399.3380

1578.0205

 

 

 

 

grubość obliczeniowa zęba k2

SFn2

  15.2903

  11.5986

średnica przyłożenia siły k2

de2

 334.1950

 258.6244

kąt działania siły k2        

alfa_Fe2

  25.0319

  22.6509

wysokość ramienia działania siły k2

hFe2

   7.2086

   4.6023

współczynnik kształtu zęba k2

yF2

   1.1744

   1.0458

naprężenie stopy zęba k2   

sigma_f2

 285.1270

 640.5521

dopuszczalne napr. stopy zęba k2 

sigma_fp2

1327.6975

1480.4211

 

 

 

 

współczynnik dynamiczny koła

kv

   1.0270

   1.0181

współczynnik nierównom. rozdziału obciążenia na pary zębów

kh_alfa

   0.6821

   0.8265

współczynnik nierównom. rozkładu obciążenia na linii zęba

kh_beta

   1.0257

   1.0121

współczynnik strefy nacisku

zh

   2.2851

   2.3808

współczynnik przyporu

z_eps

   0.9100

   0.8492

średnia sztywność zazębienia

c_gamma

  19.5432

  21.2724

naprężenie boku zęba koła 1

sigma_h_k1

1006.8801

1576.9766

dopuszczalne naprężenie boku zęba koła 1

sigma_hp_k1

2258.4417

2222.6216

naprężenie boku zęba koła 2

sigma_h_k2

 985.7225

1555.4148

dopuszczalne naprężenie boku zęba koła 2

sigma_hp_k2

2262.3535

2226.7534


Wyniki umieszczone w tabelach 1, 2 i 3 pokazują jak znacznie można poprawić parametry skrzyń przekładniowych wykorzystując optymalizację wielokryterialną. Znaczenie uzyskanych wyników podkreśla fakt, że dane początkowe do obliczeń były oparte o istniejący fizycznie egzemplarz skrzyni przekładniowej.

5. PODSUMOWANIE

Przedstawiony w pracy przykład obliczeń geometrycznych i wytrzymałościowych kół zębatych  skrzyni przekładniowej typu „power shift” pokazuje złożoność tego typu obliczeń. Wykorzystanie  systemu komputerowego pozwala na dokładne przeanalizowanie możliwości udoskonalania istniejących, jak również optymalnego projektowania nowych skrzyń przekładniowych. Optymalizacja przekładni może być prowadzona ze względu na różne kryteria a przedstawiony przykład uwzględnia kilka z możliwych. Maksymalizacja wskaźnika przyporu, minimalizacja współczynnika kształtu zęba oraz minimalizacja mas elementów wirujących przekładni pozwala na uzyskanie bardzo dobrych rozwiązań.

LITERATURA

 

[1] ISO 6336 part 1,2,3,5. Calculation of load Capacity of spur and helical gears.

[2] Martyna M., Zwolak J.: System komputerowy projektowania przekładni zębatych. Problemy Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, nr 6, 2002. Wydawnictwa Akademii Górniczo Hutniczej im. S. Staszica w Krakowie.

 

OPTIMIZATION OF GEARBOX OF TYPE "POWER SHIFT"

 

Summary: In this paper example of geometrical and strength calculations of toothed  wheels creating box drive of type "power shift" was introduced by means of computer system 'PRZEKŁADNIA'. Geometrical parameters of toothed wheels come under optimization in view of maximization of pressure coefficient, minimization of coefficient of tooth shape as well as minimization of masses of elements of whirling transmission.