Górnictwo Odkrywkowe nr 4-5/2008

 Instytut Górnictwa Odkrywkowego POLTEGOR Wrocław

 

 

Jan ZWOLAK – WTŻ Uniwersytet Rolniczy w Krakowie

Marek MARTYNA – Biuro Rozwoju HSW S.A.

 ROLA CZYNNIKÓW MATERIAŁOWYCH I TECHNOLOGICZNYCH

W NUMERYCZNYCH SYSTEMACH PROJEKTOWANIA PRZEKŁADNI ZĘBATYCH

 

Prezentowana praca jest kontynuacją problematyki dotyczącej systemu projektowania przekładni zębatych. Na system ten składają się zagadnienia konstrukcyjne, materiałowe i technologiczne. Spójne rozpatrywanie zagadnień materiałowych i technologicznych na gruncie badań doświadczalnych oraz zagadnień konstrukcyjnych przy wykorzystaniu najnowszych metod komputerowego wspomagania prac inżynierskich, łącznie z optymalizacją wielokryterialną, umożliwia uzyskanie pożądanych efektów eksploatacyjnych, wymaganych od współczesnych przekładni zębatych.

WSTĘP

Projektowanie przekładni zębatych, które w końcowym etapie prowadzi do konstruowania, wymaga od projektanta-konstruktora dobrej znajomości zagadnień z wielu obszarów specjalności (inżynieria materiałowa, technologia obróbki mechanicznej, technologia obróbki cieplnej, podstawy konstrukcji maszyn, techniki komputerowe w obliczeniach wytrzymałościowych z zastosowaniem optymalizacji). Można mówić o dobrym projekcie przekładni zębatej wówczas, kiedy na samym początku etapu projektowania będzie przeprowadzona faza wartościowania, stanowiąca o hierarchizacji potrzeb i wyborze wariantu rozwiązania przyjętego do realizacji.

W czasie prowadzonych prac podczas projektowania realizowany jest proces syntezy przekładni zębatej o takich właściwościach, które umożliwią spełnienie wymagań wynikających z przyjętych założeń w fazie wartościowania. Prace na etapie projektowania i konstruowania w największym stopniu oddziaływują na niezawodność i trwałość eksploatacyjną przekładni.

Stąd też warsztat pracy projektanta-konstruktora powinien być wyposażony w dobry sprzęt komputerowy z możliwością stosowania programów CAD/CAM/CAE, jak również MES. Poza tym w procesie projektowania przekładni zębatych, jako obiektu technicznego składającego się z elementów o dużej złożoności geometrycznej (koła zębate), niezwykle pożyteczną rolę spełniają programy optymalizacyjne. Stosowanie optymalizacji, najczęściej wielokryterialnej, daje możliwości wyboru najlepszego rozwiązania spośród wielu rozpatrywanych wariantów. Do najważniejszych kryteriów wpływających na jakość pracy przekładni zębatych można zaliczyć: minimalizacja współczynnika kształtu zęba – im mniejszy współczynnik tym większa wytrzymałość zęba na złamanie, maksymalizacja czołowej liczby przyporu – im większa czołowa liczba przyporu tym większa płynność ruchu obrotowego, minimalizacja masy kół zębatych występujących w przekładni – im mniejsza masa koła zębatego tym mniejszy masowy moment bezwładności i mniejsze reakcje dynamiczne w łożyskach tocznych.

Jednakże prace optymalizacyjne i inne komputerowo wspomagane prace projektowe przyniosą oczekiwane efekty w postaci poprawy jakości pracy przekładni, wzrostu jej trwałości i niezawodności tylko wówczas, jeżeli w procedurach obliczeniowych będą stosowane parametry σFlim i σHlim odniesione do określonego materiału i określonej technologii. W przedstawianej pracy wartości liczbowe wymienionych parametrów zostały wyznaczone doświadczalnie na kołach zębatych modelowych, wykonanych z sześciu gatunków stali według dwóch technologii. Włączenie parametrów σFlim i σHlim do systemu projektowania przekładni zębatych sprawia, że system ten jest układem komplementarnym i może być stosowany w praktyce projektowo-konstrukcyjnej.

PODSTAWOWE OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE PRZEKŁADNI ZĘBATEJ

Przekładnie zębate stosowane w napędach maszyn i urządzeń składają się najczęściej z kół zębatych walcowych o uzębieniu prostym lub skośnym. Obciążenia eksploatacyjne przenoszone przez poszczególne koła zębate sprawiają, że doznają one działań destrukcyjnych objawiających się w postaci zmęczeniowych wykruszeń powierzchniowych (pittingu) [1], a niekiedy także bardziej groźnych defektów w postaci złamania zęba u podstawy [2, 3, 4].

W celu zapewnienia bezawaryjnej pracy przekładni zębatych podczas eksploatacji, prowadzi się różnorakie badania doświadczalne i badania numeryczne ukierunkowane na zwiększenie ich trwałości i niezawodności. Takiemu to też celowi poświęcona jest treść prezentowanego artykułu, który stanowi niewielką cząstkę przedsięwzięcia łączącego olbrzymi zakres prac badawczych doświadczalnych i prac obliczeniowo-optymalizacyjnych. Inspiracją do podjęcia prac badawczych doświadczalnych były potrzeby z zakresu poprawy trwałości i niezawodności wytwarzanych przekładni zębatych.

Kształtowanie trwałości i niezawodności w największej części odbywa się na etapie projektowania. Stąd też naczelnym zadaniem projektanta-konstruktora jest wyznaczenie odpowiednich parametrów geometrycznych poszczególnych kół zębatych tworzących przekładnię, które będą spełniać następujące warunki [1,2]:

 

 σH zębnika  σHP                                                                      (1)

 

σH koła  σHP                                                                      (2)

 

 σF  σFP                                                                      (3)

 

Według norm ISO [1,2] poszczególne wielkości zapisane w zależnościach (1), (2), (3) obliczane są ze wzorów:

 

 

σH zębnika = σHC * ZB *                                         (4)

 

σH koła = σHC * ZD *                                            (5)

 

σHC = * ((u+1)/u)) * ZH * Zε * ZE * Zβ                             (6)

 

σHP = (σH lim / SH min ) * ZNT * ZL * ZV * ZR * ZW * ZX                          (7)

 

σFO = (Fn / (bw * mn)) * YF * YS * Yβ                                                     (8)

 

σF = σFO * KA *  KV * KFβ * KFα                                                            (9)

 

σFP = σF lim * ((YST * YNT) / SF min))* Yδ rel T * YR rel T * YX                   (10)

 

 

Interpretacja fizyczna oznaczeń występujących we wzorach jest następująca:

σ H zębnika – maksymalne naprężenie stykowe zębnika,

σHC – naprężenie stykowe w biegunie zazębienia,

σH koła – maksymalne naprężenie stykowe koła,

σHP – dopuszczalne naprężenie stykowe,

σFO – nominalne naprężenie u podstawy zęba,

σF – naprężenie u podstawy zęba,

σFP – dopuszczalne naprężenie u podstawy zęba,

σH lim – nieograniczona wytrzymałość zmęczeniowa boku zęba,

σF lim – nieograniczona wytrzymałość zmęczeniowa stopy zęba,

ZB – współczynnik miarodajnego naprężenia zębnika,

KA – współczynnik zastosowania,

KV – współczynnik dynamiczny,

KHβ – współczynnik nierównomiernego rozkładu obciążenia wzdłuż linii styku,

KHα  - współczynnik nierównomiernego rozdziału obciążenia na pary zębów w przyporze,

ZD – współczynnik miarodajnego naprężenia koła,

Ft – nominalna siła obwodowa na kole podziałowym,

bw - szerokość zazębienia,

d1 – średnica podziałowa koła 1 (zębnika),

u – przełożenie geometryczne,

ZH – współczynnik strefy nacisku,

Zε – współczynnik przyporu,

ZE – współczynnik sprężystości,

Zβ – współczynnik kąta pochylenia linii zęba,

SH min – minimalny współczynnik bezpieczeństwa ze względu na pitting,

ZNT – współczynnik trwałości,

ZL – współczynnik smaru,

ZV – współczynnik prędkości obwodowej,

ZR – współczynnik chropowatości,

ZX – współczynnik wielkości,

Fn – nominalna siła w płaszczyźnie przyporu,

mn – moduł normalny,

YF – współczynnik kształtu zęba,

YS – współczynnik korekcji naprężeń,

Yβ – współczynnik pochylenia kąta linii zęba,

KFβ – współczynnik nierównomiernego rozkładu obciążenia wzdłuż linii styku,

KFα – współczynnik nierównomiernego rozdziału obciążenia na pary zębów,

YST – współczynnik korekcji naprężeń,

YNT – współczynnik trwałości,

SF min – minimalny współczynnik bezpieczeństwa ze względu na złamanie zęba,

Yδ rel T – względny współczynnik wrażliwości na działanie karbu,

YR rel T – względny współczynnik stanu powierzchni,

YX – współczynnik wielkości.

 

Prawie wszystkie wielkości fizyczne występujące we wzorach od (4) do (10) można obliczyć przy znanych parametrach geometrycznych kół zębatych i znanym momencie obrotowym obciążającym wałek wejściowy przekładni zębatej (wałek I na rysunku 1).

 

 

Rys. 1. Schemat kinematyczny 6-biegowej przekładni zębatej power schift

 

 

Najważniejszymi parametrami, które występują we wzorach (7) i (10) są: σHlim wyrażający nieograniczoną zmęczeniową wytrzymałość boku zęba oraz σ Flim wyrażający nieograniczoną zmęczeniową wytrzymałość stopy zęba. Szereg obliczanych współczynników stosowanych we wzorach, jedynie koryguje wartości naprężeń σHP i σFP. Stąd też w racjonalnym projektowaniu przekładni zębatych podstawową rolę przypisuje się parametrom σHlim i σFlim. Parametry te jednak nie mogą być przyjmowane tylko w zależności od gatunku materiału, ale także w zależności od technologii obróbki uzębienia.

W pracy tej przedstawia się przykłady obliczeniowe przekładni zębatej, w której zastosowano koła wykonane ze stali 18 HGM i 20 HGN przy zastosowaniu dwóch technologii (A i B). Według technologii A powierzchnie robocze zębów nawęglano i hartowano, po czym jako obróbkę wykończeniową stosowano szlifowanie. W technologii B stosowano wiórkowanie zębów, jako obróbkę mechaniczną wykończeniową, a następnie nawęglano i hartowano.

SYMBIOZA WSPOMAGANIA KOMPUTEROWEGO I WYNIKÓW BADAŃ DOŚWIADCZALNYCH

Cechą pozytywną i pożądaną jest korzystanie w systemach obliczeń komputerowych z wyników badań doświadczalnych, które sprawiają, że systemy te uzyskują duże znaczenie praktyczne w procesie projektowania przekładni zębatych. Analiza podstawowych zagadnień wynikających z eksploatacji przekładni zębatych wskazuje na przyjęcie do stosowania w obliczeniach optymalizacyjnych następujących kryteriów, zapisanych za pomocą wzorów (11) do (17):

 

- odwrotność minimalnego czołowego stopnia pokrycia  dla ‘p’ par kół:

                                                                                                         (11)

 

- maksymalny współczynnik kształtu zęba  dla ‘k’ kół:

 

                                                                                                          (12)

 

- całkowita masa kół:

                                                                                                           (13)

 

- wytężenie stopy zęba:

                                                          (14)

 

gdzie:  - dopuszczalna zmęczeniowa wytrzymałość stopy zęba

 - maksymalne naprężenie stopy zęba

 

- wytężenie kontaktowe powierzchni zęba:

 

                                                               (15)

 

gdzie:  - naprężenie dopuszczalne boku zęba

    - obliczeniowe naprężenie boku zęba

 

- ilość naruszonych ograniczeń:

                                                                                                (16)

Kryterium globalne zapisano zależnością:

 

                                                      (17)

 

 

gdzie:

 

 p 

-

ilość par kół,

 k 

-

ilość kół,

 no 

-

wskaźnik niespełnienia ograniczeń, ‘no’ przyjmuje wartości 0 lub 1,

 

-

ilość ograniczeń funkcyjnych (nierównościowych),

 

-

współczynnik wagowy kryterium cząstkowego ‘j’,

 

-

wartość normująca kryterium cząstkowe ‘j’.

Obliczone wartości liczbowe podanych kryteriów ułatwiają wybór najlepszego wariantu projektowanej przekładni zębatej. Spośród wielu rozpatrywanych wariantów przekładni, za optymalny uznaje się ten, dla którego wartość kryterium globalnego wyznaczona za pomocą wzoru (17) przyjmuje minimum.

Stosowanie optymalizacji w projektowaniu przekładni zębatych umożliwia ustalenie takich parametrów geometrycznych, które wykorzystają właściwości wytrzymałościowe wynikające z gatunku materiału i z technologii obróbki uzębienia, a także pozwolą uzyskać odpowiednią wartość czołowej liczby przyporu w funkcji kąta zarysu zębów. Zmianę czołowej liczby przyporu w zależności od kąta zarysu przedstawia rysunek 2.

Rys. 2. Wykres czołowej liczby przyporu w zależności od kąta zarysu

 

Ze względu na na płynność ruchu obrotowego przekładni i jej cichobieżność należy dążyć do jak największej wartości czołowej liczby przyporu. A zatem z tego powodu, kąt zarysu zęba powinien być stosunkowo mały. Jak widać na rysunku 2, najwyższą wartość czołowej liczby przyporu εα = 2.12 można uzyskać przy kącie zarysu αo = 15o.

Jednakże biorąc pod uwagę obciążalność przekładni, kąt zarysu powinien być jak największy. Z obciążalności przekładni wynikają naprężenia zginające u podstawy zęba σF, jak i naprężenia powierzchniowe (kontaktowe) σH. Zależność tych naprężeń od kąta zarysu zęba przedstawiają rysunki 3 i 4.

 

Rys. 3. Naprężenia zginające σF w zależności od kąta zarysu zęba przy

obciążeniu M=2000 Nm, para zębata z1/z5 z rysunku 1

 

 

Rys. 4. Naprężenia kontaktowe σH w zależności od kąta zarysu przy

obciążeniu M=2000Nm, para zębata z1/z5 z rysunku 1

 

Z rysunków 2, 3 i 4 wynika, że zachodzi sprzeczność wpływu kąta zarysu zęba na wartość czołowej liczby przyporu i na wartość obciążenia przekładni. Dużym ułatwieniem, a nawet zapewnieniem w znalezieniu optymalnego rozwiązania tego problemu jest system komputerowego projektowania i optymalizacji przekładni zębatych w połączeniu z wynikami badań doświadczalnych.

Wyniki badań doświadczalnych, to wartości liczbowe zmęczeniowej wytrzymałości stopy zęba σFlim i zmęczeniowej wytrzymałości boku zęba σHlim. Znając wartości σFlim i σHlim, wyznacza się wartości naprężeń dopuszczalnych stopy zęba σFP według wzoru (10)  i naprężeń dopuszczalnych boku zęba σHP według wzoru (7). Wyznaczone doświadczalnie wartości σFlim i σHlim oraz obliczone naprężenia dopuszczalne σFP i σHP przedstawiono w tabeli 1.

 

Tabela 1. Wartości naprężeń zmęczeniowych i dopuszczalnych dla stali 18 HGM i 20 HGN

 

Stal

Technologia A

Technologia B

σFlim

[MPa]

σHlim

[MPa]

σFP

[MPa]

σHP

[MPa]

σFlim

[MPa]

σHlim

[MPa]

σFP

[MPa]

σHP

[MPa]

18 HGM

440

1472

582

1626

464

1519

614

1678

20 HGN

474

1447

627

1598

498

1497

659

1654

 

O tym, jakie wartości parametrów geometrycznych podczas obliczeń przyjmą poszczególne koła zębate w rozpatrywanej przekładni, w największym stopniu zależy od charakterystyki stosowanych materiałów i technologii. Odzwierciedleniem użytkowym tej charakterystyki, są podane w tabeli 1 wartości zmęczeniowej wytrzymałości stopy zęba i zmęczeniowej wytrzymałości boku zęba.

Wybrane parametry pary zębatej z1/z5 przekładni z rysunku 1, zależne od zmęczeniowej wytrzymałości stopy zęba σFlim i zmęczeniowej wytrzymałości boku zęba σHlim przedstawiono w tabeli 2.

 

 

Tabela 2. Wybrane parametry pary zębatej z1/z5 przed i po optymalizacji oraz wartości kryteriów cząstkowych i kryterium globalnego

 

 

Nazwa wielkości

Przed

optymalizacją

Po optymalizacji

18 HGM

20 HGN

 

 

Technologia A

Technologia B

Technologia A

Technologia B

moduł

6.3030

   5.1386

   5.0964

   5.2187

   5.0443

kąt zarysu

25.0000

  15.0000

  15.0000

  15.0000

  15.0000

ilość zębów koła 1 (k1)

34.0000

  31.0000

  33.0000

  29.0000

  33.0000

ilość zębów koła 2 (k2)

52.0000

  64.0000

  69.0000

  61.0000

  47.0000

współczynnik korekcji k1

-0.0040

   0.2963

   0.2713

   0.4682

   0.4406

współczynnik korekcji k2

-0.0610

   0.2887

   0.1445

   0.5944

   0.4578

szerokość wieńca zębatego k1      

25.0000

  39.3945

  36.7419

  34.0980

  25.6629

szerokość wieńca zębatego k2     

64.0000

  25.1550

  23.0890

  24.7585

  43.8800

średnica podziałowa k1            

214.3020

 159.2961

 168.1810

 151.3430

 166.4612

średnica podziałowa k2            

327.7560

 328.8693

 351.6512

 318.3422

 237.0812

średnica toczna k1               

213.9769

 161.1208

 169.4849

 154.5017

 169.7812

średnica toczna k2               

327.2588

 332.6365

 354.3775

 324.9864

 241.8096

średnica zasadnicza k1               

194.2236

 153.8682

 162.4504

 146.1861

 160.7892

średnica zasadnicza k2               

297.0478

 317.6633

 339.6690

 307.4949

 229.0028

średnica głów k1                

226.9962

 174.6730

 183.1727

 168.5064

 182.7683

średnica głów k2                

339.7443

 343.2333

 363.6753

 336.3928

 252.8802

średnica stop k1                

198.4941

 149.4944

 158.2052

 143.1832

 158.2951

średnica stop k2                

311.2296

 318.9903

 340.3826

 311.4998

 229.0888

zerowa odległość osi             

271.0290

 244.0827

 259.9161

 234.8426

 201.7712

rzeczywista odległość osi             

270.6179

 246.8786

 261.9312

 239.7441

 205.7954

kąt toczny przyporu         

24.8127

  17.2565

  16.5654

  18.8837

  18.7308

czołowy stopień pokrycia      

1.5394

   2.1227

   2.1083

   2.0532

   2.0250

współczynnik kształtu zęba k1    

1.2261

   1.2020

   1.2497

   1.0739

   1.1592

naprężenie stopy zęba k1   

290.8361

 690.9913

 729.4999

 691.7505

 647.3753

współczynnik kształtu zęba k2

1.1787

   1.2069

   1.2481

   1.1283

   1.1689

naprężenie stopy zęba k2   

289.7858

 786.2850

 887.7390

 783.6829

1015.8058

naprężenie boku zęba koła 1

1020.6326

1468.1008

1485.3264

1465.8102

1419.0400

naprężenie boku zęba koła 2

1001.5513

1469.1630

1488.3621

1465.8102

1560.3202

 

 

 

 

 

 

kryterium cząstkowe K1

  0.650

  0.479

  0.493

  0.487

  0.502

kryterium cząstkowe K2

  1.261

  1.207

  1.250

  1.130

  1.171

kryterium cząstkowe K3

112.669

108.546

119.455

111.116

 85.947

kryterium cząstkowe K4

756.447

 72.533

105.567

 78.562

231.340

kryterium cząstkowe K5

900.763

 35.902

 14.850

 57.830

122.596

kryterium cząstkowe K6

  0.013

  0.000

  0.000

  0.000

  0.000

kryterium globalne KG

1.243

0.460

0.486

0.464

0.487

 

 

PODSUMOWANIE

Przedstawione  w pracy niektóre wyniki obliczeń geometrycznych i wytrzymałościowych jednej pary zębatej (z1/z5), będącej w łańcuchu kinematycznym 6-biegowej skrzyni przekładniowej power shift wskazują, jak złożone i trudne jest jej projektowanie prowadzące do optymalnego rozwiązania w aspekcie wytrzymałościowym. Trudność ta wynika z bardzo wielu parametrów, jako zmiennych wchodzących do wzorów obliczeniowych i mających często przeciwstawny wpływ na wybraną funkcję celu.

Widać to chociażby na rysunku 2, 3 i 4. Na rysunku 2 czołowa liczba przyporu przyjmuje wartość największą (a więc bardzo pożyteczną ze względu na płynność ruchu) dla kąta zarysu 150, będącego najmniejszym i bardzo rzadko stosowanym w praktyce projektowania i konstruowania kół zębatych. Z kolei na rysunku 3 i 4 dostrzega się, że przy tym samym kącie zarysu 150 uzyskuje się niekorzystne rozwiązanie ze względu na obciążenie zębów (maksymalne naprężenie stopy zęba i boku zęba).

Obliczone wartości naprężeń stopy zęba i boku zęba zapisane w tabeli 2 oraz naprężenia dopuszczalne σFP i σHP w tabeli 1 dowodzą, że koła zębate wykonane według technologii B mogą przenosić większe obciążenia eksploatacyjne aniżeli koła wykonane według technologii A.

Zatem rola czynników materiałowych i technologicznych w procesie komputerowego projektowania i konstruowania przekładni zębatych, uzewnętrznia się w wyznaczonych doświadczalnie wartościach liczbowych σFlim i σHlim, mających istotny wpływ na parametry geometryczne kół zębatych tworzących przekładnię o określonej strukturze kinematycznej, zdolnej do przenoszenia określonych obciążeń eksploatacyjnych.

 

 

Literatura:           

 

[1]. ISO 6336 – 2. Calculation of load capacity of spur and helical gears - calculation of surface durability (pitting).   

[2]. ISO 6336 – 3. Calculation of load capacity of spur and helical gears – calculation of tooth bending strength.

[3]. Jaśkiewicz Z., Wąsiewski A.: Przekładnie walcowe. WKŁ, Warszawa 1992.

[4]. Muller L.: Przekładnie zębate – projektowanie. WNT, Warszawa 1996.

 

 

 

 

THE ROLE OF MATERIAL AND TECHNOLOGICAL FACTORS IN NUMERICAL SYSTEMS FOR TOOTHED GEAR DESIGN

 

Summary: This study further explores the system for the design of toothed gears. The system comprises the design, material and technological aspects. Comprehensive approach to material and technological factors in experimental tests and design supported by state of the art engineering tools, such as multicriterial optimization, enables us to the ensure the desired operational parameters required of currently used toothed gears.