Jan ZWOLAK 1

Marek MARTYNA 2

 

 

 ANALIZA NAPRĘŻEŃ KONTAKTOWYCH I NAPRĘŻEŃ ZGINAJĄCYCH WYSTĘPUJĄCYCH W PARACH ZĘBATYCH

 PRZEKŁADNI POWER SHIFT

 

ANALYSIS OF CONTACT STRESS AND BENDING STRESS OCCURING IN LOADED TOOTHED PAIRS TRANSMISSIONS POWER SHIFT

 

Słowa kluczowe:

 

koła zębate, przekładnie zębate power shift, naprężenia kontaktowe, naprężenia zginające, badania numeryczne

 

Key words:

 

gears teeth, gears transmissions power shift, contact stress, bending stresses, numerical study

 

Streszczenie

 

W pracy przedstawiono zagadnienia związane z naprężeniami kontaktowymi i z naprężeniami zginającymi, uzyskanymi w badaniach numerycznych przekładni zębatej power shift. Badana przekładnia składa się z czternastu kół, które tworzą dziesięć par zębatych. Analizowano wpływ współczynnika przesunięcia zarysu oraz modułu na wartość naprężeń kontaktowych i naprężeń zginających.

 

 

WPROWADZENIE

 

W przekładniach zębatych stosowanych w układach napędowych maszyn roboczych, jak np. w ładowarkach kołowych, czy ciągnikach gąsienicowych, występują zmienne wartości momentów obrotowych, wynikające z charakteru pracy tych maszyn. Wywołują one zmienne wartości naprężeń kontaktowych i naprężeń zginających w poszczególnych kołach zębatych tworzących strukturę rozpatrywanej przekładni.

Występowanie naprężeń kontaktowych w odpowiednio długim okresie czasu prowadzi do zmęczeniowego zużywania powierzchniowego warstwy wierzchniej boku zęba, objawiającego się efektem końcowym w postaci pittingu. Natomiast naprężenia zginające powodują zmęczenie objętościowe materiału u podstawy zęba, prowadzące do pękania a następnie do złamania zęba [1,2].

Przebieg zmęczeniowego zużywania powierzchniowego, jak i zmęczeniowego niszczenia objętościowego przez złamanie przy określonym obciążeniu zewnętrznym, uzależniony jest od wielu parametrów geometrycznych współpracujących ze sobą kół zębatych. Uzależniony jest także w dużym stopniu od materiału, jak i od stosowanej technologii w procesie ich obróbki wykończeniowej.

Oprócz wymienionych czynników wpływających na zmęczeniowe zużywanie powierzchniowe, należy jeszcze dodać warunki smarowania występujące w strefie międzyzębnej współpracujących kół zębatych podczas eksploatacji.

W prezentowanej pracy wykorzystano wyniki doświadczalnych badań własnych w zakresie zmęczeniowej wytrzymałości powierzchniowej σH lim oraz w zakresie zmęczeniowej wytrzymałości objętościowej σF lim. Wyznaczone wartości σH lim i σF lim wykorzystano w systemie komputerowym projektowania przekładni zębatych.

System ten umożliwia prowadzenie obliczeń geometrycznych i wytrzymałościowych oraz ich optymalizację ze względu na wybrane kryteria. W dalszej części pracy rozważane będą jedynie badania numeryczne, z pominięciem badań doświadczalnych.

 

PRZEDMIOT BADAŃ

 

Badania numeryczne prowadzono na 8-stopniowej przekładni zębatej power shift, przeznaczonej do układu napędowego ładowarki kołowej. Schemat kinematyczny w układzie osiowym rozważanej przekładni przedstawiono na rysunku 1.

 

Rys.1. Schemat kinematyczny w układzie osiowym przekładni zębatej power shift

Fig. 1. Kinematic diagram in axial gears transmissions power shift 

 

Symbole występujące na rysunku 1 oznaczają: z1, z2,..., z14 – koła zębate, AB, CD,..., MN – wałki, P – sprzęgło kierunkowe jazdy do przodu, W – sprzęgło kierunkowe jazdy do tyłu, S1, ..., S4 – sprzęgła do włączania poszczególnych biegów. W celu ułatwienia zapisu łańcucha kinematycznego utworzonego przez koła zębate na poszczególnych biegach, przedstawiono schemat kinematyczny w układzie promieniowym rozpatrywanej przekładni na rysunku 2.

 

 

 

Rys.2. Schemat kinematyczny w układzie promieniowym przekładni zębatej power shift

Fig. 2. Kinematic diagram in radian gears transmissions powers shift

 

Na podstawie rysunku 1 i 2 utworzone pary zębate z odpowiednich kół, będących w ciągłym zazębieniu, dają się zapisać jako przełożenia na poszczególnych biegach:

 

=

=

=

=

 

=

=

=

=

(1)

 

Przełożenia całkowite: i1, i2, i3, i4, będące iloczynem przełożeń elementarnych poszczególnych par zębatych, odnoszą się do biegów jazdy do przodu. Natomiast przełożenia: i5, i6, i7, i8, dotyczą biegów jazdy do tyłu.

Wartości liczbowe przełożeń elementarnych i całkowitych (wzór 1) wykazujące różnice na poszczególnych biegach sprawiają, że zmieniają się wartości liczbowe naprężeń kontaktowych i naprężeń zginających tej samej pary zębatej, występującej w łańcuchu kinematycznym poszczególnych biegów.

 

SYSTEM KOMPUTEROWY W ANALZIE NAPRĘŻEŃ ZGINAJĄCYCH I NAPRĘŻEŃ KONTAKTOWYCH

 

Podstawowe zagadnienia związane z obliczeniami przekładni zębatych mogą być analizowane za pomocą autorskiego systemu komputerowego [3]. System ten umożliwia prowadzenie obliczeń geometrycznych i wytrzymałościowych z optymalizacją wielokryterialną, jak też obliczeń bez optymalizacji. Poprzez odpowiednie zadawanie danych w programie można przeprowadzać obliczenia dla różnych zestawów zmiennych decyzyjnych. W rozpatrywanym przypadku obliczenia prowadzono traktując jako zmienne decyzyjne: moduł oraz współczynniki przesunięcia zarysu. W programie aktywne były wszystkie dostępne kryteria cząstkowe oraz ograniczenia a w analizowanych wynikach skupiono się głównie na naprężeniach zginających σF  oraz naprężeniach kontaktowych σH.

Takie podejście miało na celu wygenerowanie zestawów: moduł, współczynniki przesunięcia zarysu oraz odpowiadających im naprężeniom zginającym σF  oraz  kontaktowym σH, aby pokazać ich wzajemne relacje. Bez wykorzystania optymalizacji byłoby to bardzo trudne zadanie z powodu złożoności problemu oraz skomplikowanego obszaru dopuszczalnego. Ze względu na brak danych rzeczywistych w obliczeniach przyjęto 5 punktów startowych, które wprawdzie nie spełniały wszystkich ograniczeń (całkowita liczba ograniczeń 574) ale pozwoliły na realizację obliczeń i znalezienie zadowalających rozwiązań z obszaru dopuszczalnego.

 

ANALIZA OBCIĄŻEŃ PRZEKŁADNI

 

Analizę obciążeń przekładni przeprowadzono przy momencie wejściowym M = 1500 Nm oraz prędkości obrotowej n = 1800 min-1. Wykonano obliczenia naprężeń zginających σF oraz naprężeń kontaktowych σH wszystkich par zębatych tworzących strukturę rozpatrywanej przekładni. Wyniki obliczeń (bez optymalizacji) dla jednego z punktów startowych przedstawiono w tabeli 1.

 

Tabela 1. Naprężenia zginające i naprężenia kontaktowe w parach zębatych tworzących przekładnię power shift przed optymalizacją

Table 1. Bending stresses and contact  stress in toothed pairs forming a power shift transmissions before optimization

 

Para zębata

Naprężenia zginające

σF  [MPa]

Naprężenia kontaktowe

σH  [MPa]

z1 : z3

σF1=  419

σF3=  469

σH1=  1191

σH3=  1196

z3 : z5

σF3=  469

σF5=  417

σH3=  1196

σH5=  1108

z7 : z9

σF7=  480

σF9=  563

σH7=  1382

σH9=  1370

z9 : z13

σF9=  563

σF13= 494

σH9=  1370

σH13= 1172

z3 : z10

σF3=  469

σF10= 425

σH3=  1196

σH10= 1224

z12 : z9

σF12= 291

σF9=  563

σH12= 1162

σH9=  1370

z6 : z8

σF6=  305

σF8=  294

σH6=  1095

σH8=  1125

z11 : z8

σF11= 167

σF8=  294

σH11=  897

σH8=  1125

z2 : z14

σF2=  363

σF14= 392

σH2=  1211

σH14= 1200

z14 : z4

σF14= 392

σF4=  355

σH14= 1200

σH4=  1186

 

Z tabeli 1 wynika, że największe obciążenia w rozpatrywanej strukturze przekładni przenosi para zębata z9:z13. Natomiast para zębata z11:z8 w całym łańcuchu kinematycznym przekładni przenosi obciążenia najmniejsze. Maksymalne obciążenie pary zębatej z9:z13 wynika stąd, iż para ta jest ostatnim ogniwem przekładni w przeniesieniu momentu obrotowego na wszystkich stopniach przełożeń. Natomiast para zębata z11:z8 jest jedyną parą we wzorze (1) pozwalającym na obliczenie przełożenia i4 oraz i8 (stopień najwyższy przełożenia z najmniejszym momentem obrotowym), która nie występuje w obliczeniach innych przełożeń zapisanych za pomocą wzoru (1).

W dalszej analizie obciążeń wykonano obliczenia optymalizacyjne naprężeń zginających σF oraz naprężeń kontaktowych σH, w zależności od wartości liczbowej modułu i współczynnika przesunięcia zarysu. Wybrane wyniki tych obliczeń przedstawiono w tabeli 2.

 

Tabela 2. Naprężenia zginające i naprężenia kontaktowe w parach zębatych tworzących przekładnię power shift po optymalizacji

Table 2. Bending stresses and contact stress in toothed pairs forming a power shift transmissions after optimization 

 

Para zębata

Naprężenia zginające

σF [MPa]

Naprężenia kontaktowe

σH [Mpa]

z1 : z3

σF1=  310

σF3=  346

σH1=  1041

σH3=  1048

z3 : z5

σF3=  346

σF5=  306

σH3=  1048

σH5=    974

z7 : z9

σF7=  418

σF9=  505

σH7=  1386

σH9=  1360

z9 : z13

σF9=  505

σF13= 424

σH9=  1360

σH13= 1138

z3 : z10

σF3=  346

σF10= 314

σH3=  1048

σH10= 1068

z12 : z9

σF12= 246

σF9=  505

σH12= 1059

σH9=  1360

z6 : z8

σF6=  279

σF8=  268

σH6=  1051

σH8=  1093

z11 : z8

σF11= 166

σF8=  268

σH11=  896

σH8=  1093

z2 : z14

σF2=  273

σF14= 293

σH2=  1059

σH14= 1040

z14 : z4

σF14= 293

σF4=  268

σH14= 1040

σH4=  1023

 

Porównując wartości naprężeń z tabeli 1 i z tabeli 2 zauważa się, że przeprowadzona optymalizacja z udziałem modułu i współczynników korekcji pozwala na istotne zmniejszenie wartości naprężeń zginających σF oraz naprężeń kontaktowych σH..

Wartości obliczonych w procedurze optymalizacyjnej naprężeń zginających i naprężeń kontaktowych pary zębatej z9:z13, odniesionych do kilku wybranych wartości modułu m i współczynników korekcji x9 oraz x13 przedstawiono w tabeli 3.

 

                      Tabela 3. Naprężenia zginające i kontaktowe pary zębatej z9:z13

                      Table 3. Bending stresses and contact stress of the toothed pairs z9:z13

 

m

x9

x13

σF9

σF13

σH9

σH13

7.5488

0.1484

0.5199

573

505

1383

1180

7.6079

0.1325

0.5600

555

493

1379

1163

7.6228

0.2064

0.4723

581

511

1375

1179

7.6331

0.1186

0.5713

551

490

1379

1160

7.6487

0.1588

0.5170

569

502

1367

1168

9.3806

-0.0607

0.5922

505

424

1360

1138

 

Na podstawie wyników z tabeli 3 zbudowano wykresy przedstawiające zależność naprężeń od modułu i współczynników korekcji. Naprężenia zginające w kole z9 dla sześciu przypadków modułu i współczynnika korekcji przedstawiono na rysunku 3.

 

 

Rys.3. Naprężenia zginające σF9 w kole zębatym z9 w zależności od modułu i korekcji

Fig.3. Bending stresses σF9 in the gear teeth z9 depending on the module and the correction

 

Dla koła z13 współpracującego z kołem zębatym z9 wykres naprężeń zginających przedstawiono na rysunku 4.

 

 

Rys.4.  Naprężenia zginające σF13 w kole zębatym z13 w zależności od modułu i korekcji

Fig.4. Bending stresses σF13 in the gear teeth z13 depending on the module and the correction

 

Wyniki z tabeli 3 wykorzystano także do budowy wykresów ilustrujących zależności naprężeń kontaktowych σH od wartości modułu i współczynników korekcji. Jedną z takich zależności  przedstawiono na rysunku 5.

 

 

Rys.5. Naprężenia kontaktowe σH9 w kole zębatym z9 w zależności od modułu i korekcji

Fig.5. Contact stress σH9 in the gear teeth z9 depending on the module and the correction

 

Naprężenia kontaktowe występujące w kole współpracującym z13, w postaci wykresu przedstawiono na rysunku 6.

 

 

Rys.6. Naprężenia kontaktowe σH13 w kole zębatym z13 w zależności od modułu i korekcji

Fig.6. Contact stress σH13 in the gear teeth z13 depending on the module and the correction

 

Wykresy na rysunkach: 3, 4, 5 i 6 wskazują na zależność naprężeń zginających σF, jak i naprężeń kontaktowych σH od wartości modułu m i współczynnika korekcji x.

 

PODSUMOWANIE

 

Pary zębate występujące w analizowanej przekładni power shift przenoszą obciążenia o znacznym stopniu zróżnicowania, które generują także odpowiednio zmienne naprężenia zginające σF i naprężenia kontaktowe σH. O dużym zróżnicowaniu naprężeń zginających i naprężeń kontaktowych poszczególnych par zębatych dowodzą wyniki obliczeń zamieszczone w tabelach 1 i 2. Wśród tych wyników zauważa się, że większe zróżnicowanie w poszczególnych parach zębatych występuje w naprężeniach zginających, natomiast mniejsze w naprężeniach kontaktowych. Warto tu dostrzec i to, że w parze zębatej z11:z8, zęby koła zębatego z11 mają najniższą wartość naprężeń zginających i naprężeń kontaktowych. Wynika to stąd, że koło z11 tworzy tylko jedną parę zębatą z kołem z8, która znajduje się w łańcuchu kinematycznym biegu IV i biegu VIII o małej wartości przenoszonego momentu obrotowego.

Analiza wyników zamieszczonych w tabeli 3 oraz wykresów na rysunkach: 3, 4, 5 i 6 wskazuje, że wartość modułu i współczynnika korekcji w większym stopniu wpływa na zmianę naprężeń zginających, aniżeli naprężeń kontaktowych. Ocena takiego wpływu w wymiarze ilościowym umożliwia konstruktorowi kształtowanie zasobu funkcjonalności przekładni zębatej na etapie projektowania.

 

 

LITERATURA

 

1. Muller L.: Przekładnie zębate, projektowanie. Warszawa: WNT, 1996.

2. Jaśkiewicz Z., Wąsiewski A.: Przekładnie walcowe. Warszawa: WKŁ, 1992.

3. Martyna M., Zwolak J.:  Program PRZEKLADNIA (http://www.gearbox.com.pl).

 

 

 

Sumary

 

The study summarizes the problems associated with contact stress and bending stress highlighted in the course of numerical tests of a power shift incorporating fourteen wheels, making up ten toothed pairs. The study investigates the influence of the addendum modification coefficient and of the module on the value of contact stress and bending stresses.